和声音程的数学原理

乐只

和声音程的数学原理

原创：乐只

      以西洋“五度相生”求出的七个音、从低到高排列的比率为例：

      1→9/8→81/64→4/3→3/2→27/16→243/128→2（高八度）

      先看第五级属音3/2，意味着第五级的3倍与主音的2倍相吻合，泛音列就是第三个泛音列1→1→5；再看第七级243/128，意味着第七级243倍与主音128倍相吻合，泛音列是第243个。显然，比率数字越简单，越优先与主音吻合，也就越协和；比率数字越大，越是迟迟才跟主音吻合，越是不协和。纯八度、纯五度、纯四度可以称“纯”，二度、三度、六度、七度不协和。

      有人可能要问，二度、七度不协和可以理解，三度、六度怎么就不协和了？稍安勿躁，我这里说的天然律，你说的是纯律，纯律的三六度是协和的。

      纯律就是把天然律第三级、第六级、第七级巨大比率变得简单比率，分别是5/4、5/3、15/8，纯律七级比率是：

1→9/8→5/4→4/3→3/2→5/3→15/8→2（高八度）

      可以看出，纯律的第三级、第六级比率简单了，相对协和了。但是第二级和第七级仍然是大比率，意味着跟主音吻合较慢，所以和声音程尖锐不协和。

      有趣的是，纯律虽然看上去很美，可是存在一个令人头痛的“狼五度”（不纯的五度，比率不是3/2=1.5），第二级9/8和第六级5/3，第六级比率应该是9/8×3/2=27/16＝1.6875，而纯律的第六级5/3＝1.6666……所以，纯律的第二级和第六级是个难听的“狼五度”。这是因为，纯律的第六级不是从第二级“五度相生”出来的，而是从第四级推算出来的，4/3×5/4＝5/3。没办法，不管是中国“三分损益”、西洋“五度相生”和纯律，都存在主音不能回到理论上高八度的两倍频，中国称“黄钟不能还原”，西洋就叫“狼五度”，只有十二平均律才彻底解决这个问题。

      2021年4月1日