一知半解说音律 - 汉华钢琴网

　　话说当年，小说《围城》的作者、国学大师钱钟书先生闭门谢客，说“如果你们觉得鸡蛋好吃，为什么非要认识下蛋的母鸡呢？”。乐只有疾，好奇心特强，总想弄清楚音乐的本质。音律究竟是如何推演的？三分损益法、五度相生律、五声、七声、纯律、十二律、十二平均律……到底又是怎么回事？撩人心弦的音乐形象怎么跟干巴巴的数学联系在一起？为什么数学家和物理学家理解音律更有优势？难道我这种“子曰诗云”、“之乎者也”的文傻，只能被动的唱歌弹琴？

　　老乐是出了名的一根筋，非见一见下蛋的母鸡不可。最近穷究音律，大有斩获，听我用最通俗的口语一一道来。首先解决一个概念“频率”，对后面的理解非常关键：

　　【频率】：这是物理学概念，需要初中物理学知识。（声波的）频率是指物体每秒钟振动的次数，一次振动是指，从一个地方开始运动然后又回到原来的地方，单位是赫兹（HZ）。空气传播声音的“声波”，本来具有频率、波长、波形、振幅、声源、音色等等特性，为什么唯独把频率拿出来呢？因为声波的频率决定了这个声音有多“高”，物体振动得越快，频率就越高；频率越高，我们听到的音就越高，注意，是声音越高，不是声音越响，这是不同的概念——音高的雏形出来了。

　　在七声音阶（do、re、mi、fa、sol、la、xi）中，除了主音，最重要的当是属音了。什么是属音？就是第五级的音级，与主音是最和谐的，主音是父亲，属音就是儿子；主音是身子，属音就是影子，所以称为“纯五度”。有些简单的歌曲，用主音构成的一级和弦（主和弦）和用属音构成的五级和弦（属和弦），就可以给歌曲伴奏了。我教孩子吉他弹唱D大调的《祝你生日快乐》，就只用了D和弦（主和弦）和A和弦（属和弦），这两个和弦转换容易，适合初学者。

　　假如弹响一条空弦，频率（音高）是F，这时按住弦的中点再弹，我们会听到高一倍频率的2F。如吉他，弹响任意一根空弦，然后按住中点12品再弹，会发出高八度的音。也就是说，

　　3、我们要找其它和谐的音，就可以锁定在F到2F之间，超出这个范围的音，只要升高或者降低一个八度，就可以在F－2F找到对应。

　　刚才我们是按住中点1/2找到2F，假如我们按住1/3点（注意，此时有两个1/3点，等于把空弦分成三等分），会怎么样呢？一个点发出的频率是原来的3倍3F（因为弦长变成了原来的1/3），另一个点发出的频率是原来的3/2F（因为弦长变成了原来的2/3）。可以听得出，这两个音实际上是同音的八度音程关系，因为它们彼此的弦长也是2：1。

　　用吉他第一弦演示：空弦是mi，上面1/3点是吉他第七品xi，下面2/3点是吉他第十九品xi（高八度），它们是同音八度关系。我们现在知道，mi－xi，就是E－B，是纯五度，B是E的属音。

　　这样，在F－2F范围内，出现了第一个重要的频率3/2F，就在2/3弦长上，这个1.5F的音跟主音F非常和谐，仅次于2F，这个音，就是千呼万唤的属音。（下一讲，中国著名的“三分损益法”）

　　上一讲我们说到，按照空弦F的中点，得到高八度的2F；空弦一分为三，得到属音3/2F。假如把空弦分为四段，结果如何呢？根据我笨人经验，到这里头皮发麻了，不着急，慢慢分析：

　　2、既然按住中点，得到高八度的2F，那么，2F后面的弦，我们就不用管了，只要把前面的一半空弦搞定，2F空弦就可以找到相对应的音。

　　3、这一半空弦，这时被分为两段，出现了中点这个重要的音，频率是主音的4/3倍（因为弦长是原来的四分之三），我们已经知道，频率和弦长成反比，现在我们又得到一个重要的频率4/3F。

　　吉他第一弦演示：空弦是mi，中点12品是高八度mi，四分之一点是第5品la。mi－la（E－A），我们现在知道，A就是空弦E的下属音。

　　总结一下：频率为F的空弦，一分为二得到极度和谐的2F，一分为三得到跟空弦非常和谐的3/2F（1.5F，属音），一分为四得到非常和谐的4/3F（1.333……F），为什么把4/3F称为下属音呢？这里不得不介绍中国古代第五大发明“三分损益法”。

　　前面我们找属音，实际上遵循了“三分损一法”，就是把空弦平均分为三份，去掉一份，剩下的2/3弦长弹奏出来的音，就是频率为空弦3/2F倍的属音。假如把空弦均分三段后再加上一段，弦长和频率成反比，弹奏出来的音就是低八度的4/3F，这叫“三分益一法”，跟“三分损一法”正好相反。“转位”上来，就是F到2F之间的4/3F，也就是说：空弦F的1.5倍，就是非常和谐的属音；假如降低1.5倍，其实也是非常和谐的；原因就是想象把空弦F当作“那个音”的属音，“那个音”就是低八度的4/3F，将其升高一个八度，即频率升高一倍，对应的弦长就是四分之三弦长。由于4/3F是由“那个音”升高八度对应的，所以叫“下属音”。

　　在钢琴键盘上，属音是主音上方纯五度的音，下属音是主音下方纯五度的音，转位上来变成了纯四度的音，是七声音级的第四级音（属音是第五级）。一个八度之间（F－2F）的第四级下属音，其实是从主音下方纯五度转位上来的。转位之前，如果把它当作主音，原来的主音变成了属音。

　　中国特色社会主义本质还是社会主义，周星驰电影《武状元苏乞儿》苏灿是“乞中之霸”，终究还是乞丐。属音和下属音本质上都是主音的属音，和谐度是一样的。乐只看到有音乐教授说“实际上4/3F已经比3/2F的和谐程度要低不少了”，根据何来？

　　中国春秋时代的先人，用“三分损益法”，在一根空弦上就找到了与空弦（F）极度和谐的八度音（2F）、非常和谐的属音（3/2F）和下属音（4/3F）。聪明的古人，没有再把空弦分为五等分、六等分、七等分……这样太麻烦，而是找属音（3/2F）的属音，即“属音之属音”，肯定也跟主音（空弦）非常和谐的。也就是1.5F×1.5F＝2.25F即9/4F，可是这已经超出了2F的范围，进入了下一个八度，没关系，降低一个八度就可以在F－2F之间找到一个对应，把2.25F（9/4F）的频率减半，即2.25F/2＝1.125F即9/8F。把这个过程循环一遍，其实就是找3/2的3次方，就得到27/8F，这也在下一个八度中，频率减半，就得到了27/16F。如法炮制循环二遍，得到81/64F、243/128F两个音。

　　还能往下循环吗？当然可以，但是要知道，我们只是寻找跟空弦F－2F最和谐的音，只要循环到了主音F就可以了，再找下去就没有必要没有意义了。我们来计算从主音往上找到的六个音倍数（注意：暂时排除下属音），当结果大于2时就除以2，使其落在F到2F之间。下面是老乐亲自用手机计算器计算的结果：

　　我们看到最高的音1.8984375，接近2F了，再循环下去就超过了，没有必要和意义了。假如F＝1，1.8984375÷2＝0.94921875F，非常接近1了，即非常接近主音了，古人认为到这里就回到了起点。实际上，我们从结果0.94921875可以看出，其实没有完全回到起点，只要按照1.5F推算，永远也无法完全回到起点，这就是千古难题“黄钟不能还原”，最后由明朝伟大的音乐家朱载堉给完美解决。这时后话，暂且不提。

　　中国古代选取了主音F、1.5F、1.125F、1.6875F、1.265625F这5个音来作为音乐的5个基本元素，名为宫、商、角、徵、羽，把4/3F（下属音）和最后的243/128F当作偏音，这就是我们民族音乐中的五声音阶（其实也是七声音阶）。古希腊的科学家毕达哥拉斯也发现“五度相生律”，跟中国的“三分损益法”找属音相似，稍有差别的是，西洋把七个音都当作正音，从低到高排列（保留小数点后3位）：F、1.125F、1.266F、1.333F、1.5F、1.688F、1.898F，分别用数字1到7表示（分别唱作do、re、mi、fa、so、la、xi）。

　　中国古人根据“三分损益法”，找到了五音，为什么五音要称为宫、商、角、徵、羽呢（注意，是按照上古读音，不是现在的普通话）？叫猫、狗、猪、牛、羊不行吗？这里涉及到古音韵学，已故的北京大学王力教授是研究这方面的专家。根据王力先生《同源字典》所立的上古声纽（声母），共分为五大类、七小类、三十三母。五大类和七小类，是根据与喉、齿、牙、舌、唇的不同发音部位相配，五大类是：喉音、牙音、舌音、齿音、唇音，所谓自内向外。五音不仅对应五大类声母，还对应人体五脏，还对应五行金木水火土，真是博大精深的文化内涵呀，无法一一列举，我只把五音跟古声母对应：

　　还是回到“三分损益法”。我们前面通过“三分损益法”找到最接近主音的音，频率倍数是0.94921875F，非常接近1了，毕竟是近似值，一个八度之内还好，两个八度变成1.8984375F，差得远一些了。如果乐器的音域跨越了好几个八度，那么近似值就越来越远了。不行呀，还得想办法。看来“属音之属音”循环五次找到五音还不行，要循环n次才行。

　　我们已经知道，当长度减为一半时，频率将变为原先的两倍；长度增成为原先的两倍时，频率成为原先的一半。我们将这种互为二倍数的特殊比例，定义为彼此互为“八度音”。所以“三分损”（长度变为原先的2/3）与“三分益”（长度变为原先的4/3），彼此之间正是一个“八度音”的关系（4/3 是 2/3 的两倍）。由此，我们便可以从九九八十一的长度出发（F＝40.5），推算由“三分损益法”求得的长度，得到了十二律。下面是根据司马迁《史记．律书》记载的十二律，除不尽的数字保留小数点后四位：

　　注意啦，最后一个“清黄钟”的长度39.9546，与直接取“黄钟”长度的一半 40.5 仍有一段小小的差距，这就是“黄钟不能还原”的问题。因为在连乘十二次 2/3 或 4/3 后，最后的值不可能达到原始的 1/2。这又一次出现“黄钟不能还原”。虽然黄钟不能还原，却得到了十二个音，由五音变成了十二音，就是中国古代的“十二音律”，古人还把十二音律跟十二个月对应，这就更玄虚啦。

　　我们前面说到，中国春秋时代先人用“三分损益法”、古希腊人用“五度相生法”找到了音乐中七个最基本元素，由七个音级又推算出“十二律。

　　为什么中国古人将五声称作“宫商角徵羽”，我在《中国人的“五声与十二律”》说过，是因为古音韵学把声母归结为五个发音部位，自内向外顺序和对应五声是喉音（宫）、牙音（角）、舌音（徵）、齿音（商）、唇音（羽），有意思的是，古人把音乐五声和古汉语四声“平、上、去、入”也对应起来，所谓“宫商为平声，徵为上声，羽为去声，角为入声”。

　　话说回来，用“三分损益法”或者“五度相生律”推算的七声音级，每个相邻音究竟相隔多远？有什么规律呢？还是用数字说话。把七声的频率从低到高陈列出来：F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F。你会发现，一级和二级、二级和三级、四级和五级、五级和六级、六级和七级的频率比都是9/8（1.125）倍的关系，如二级9/8F×9/8F＝81/64F，构成了第三级，第四级4/3F×9/8F＝3/2F，构成了第五级，余类推。但是，第三级和第四级、第七级到“第八级”的频率比，却不是9/8（1.125）倍的关系，计算一下第三到第四级，第七到第八级，请做数学题：

　　看见了吗？它们频率比是256/243（1.053）。同样是相邻的两个音，西洋音乐把9/8（1.125）倍的关系称作“大二度”，把256/243（1.053）倍的关系称作“小二度”。

　　请注意啦，这里的“大二度”和“小二度”，是根据“三分损益法”或者“五度相生律”找出的七声音阶中最原始的数字，是大自然客观存在的频率比，完全是天然的，没有人工痕迹。音律往后大发展，犹如经济大发展，破坏大自然就无法避免了！（请看下一讲）

　　中国古人用国产的“三分损益法”、古希腊人用“五度相生律”求得音乐7个基本元素，从低到高排列是F、9/8F、81/64F、4/3F、3/2F、27/16F、243/128F，还得出了“大二度”和“小二度”的原始数据。是不是就万事大吉了呢？不是的，追求完美的音乐家，是不会停止探索脚步的。他们发现，自然七声音阶太复杂了，居然出现81/64、243/128这样的比例，它们的谐和性也不是那么好，看上去比较复杂。有人就对七个音的频率做调整，进行了简化，使用分子和分母更小的值来近似，让各个音尽量与主音和谐起来，最终得到了纯律：

　　纯律保留了主音、上主音、下属音、属音，修改了中音、下中音、导音，至于根据什么修改，没有必要穷究过程。我倒感兴趣，纯律的频率修改后，原来自然“大二度”频率比9/8（1.125）和“小二度”频率比256/243（1.053）还适用吗？显然，没有修改频率的相邻音频率比例是不会变的，修改频率的相邻音级，情况发生了变化，出现了10/9≈1.111、16/15≈1.067两个频率比，原来只有“大二度”和“小二度”，现在得叫“大二度”、“次大二度”、“新小二度”。这样看来，有些乐理把纯律等同于五度相生律，是不对的。

　　纯律虽然比“五度相生律”简单好听，也不是完美的，不仅改变了音级频率比，也不能解决“黄钟不能还原”的千古难题。我不禁要问，根据“三分损益法”求得的“十二律”，它们之间的频率比又如何？前面讲到“大二度”和“小二度”时，还来不及分析呢。化繁为简，十二律的频率是：

　　比较一下，原来的7个自然音都还在，只是多了5个，分别插在它们之间。把相邻两个音的频率互相除一下，就会发现它们之间的比例只有两种：256/243≈1.053（就是原来的“小二度”），2187/2048≈1.068（这被叫做“变化半音”）。也就是说，这12个音几乎可以说又构成了一个“等差音高序列”。它们之间的距离几乎是相等的。原来的7声音阶中，C～D、D～E、F～G、G～A、A～B之间都相隔一个“全音”（大二度），现在则认为它们之间相隔了两个“半音”（小二度）。

　　我们现在唱一首歌，无论高八度还是用其它十一个调，听起来并不别扭，感觉是将原来的音高音程关系平移而已，调不是固定的，每个人都有自己的音域，可以选择适合自己的音域。这是按照“十二平均律”制造乐器的好处，具有“等差音高序列”。那么，“十二平均律”出台之前，是什么情形呢？

　　有了前面几讲，我们已经知道，根据“三分损益法”和“五度相生律”生成的自然七声音阶，和进行修改微调的纯律音阶，相邻两音不是等距离的，它们之间频率的比值是不一样的，即使“十二律”，也是不等比的。这种不等比的音阶序列，是无法转调的。比如，我们想从C调转为D调，D成了主音，A成了属音，然而A音与D音的频率比就不再是严格的3/2（＝1.5），而是5/3÷9/8＝≈1.48，不是严格精准的纯五度，不那么和谐了，让人感觉旋律走样了。也就是说，根据“三分损益法”和“五度相生律”制造的乐器，只能弹奏一个调的曲子，要弹奏其它调，只能再造一个乐器。据说，笛子就分别做成很多不同的调。如果是钢琴，要造12台，那太恐怖啦。

　　其实，我上一讲的“十二律”，古人差点就做到了。出现了两个比值1.053和1.068，已经比较接近。“十二律”可以理解为把比值是1.125的“大二度”拆分成两份，从而变成两个“小二度”。试试看，对1.125开根号，≈1.061，这跟“小二度”比值1.053非常接近了。然而，接近不等于完全，春秋以来，多少音律家绞尽脑汁、冥思苦想、废寝忘食，为“律”消得人憔悴，衣带渐宽终不悔，直到明朝的朱载堉（1536年—1611年）才彻底解决“黄钟不能还原”的千古难题，摘得音乐史上的明珠。

　　现在说来很简单，运用中学的等比数列公式即可。不就是在一个八度内均分12份吗？修改自然音阶的频率，将八度平均分为十二个音程相等的半音，要求这12个音，每相邻两个音之间的比值完全相等，即组成一个“等比数列”，不就OK了？这个比值为12√2（2的12次方根）≈1.05946。也就是说：

　　以此类推，我们就能建立起一组新的音阶。因为每两个相邻音之间的比值完全相等，所以无论转成什么调，各音程之间的比例关系也都是一样的。换句话说，C调、#C调、D调、#D调、E调……它们的音程关系，各音程之间的和谐程度都是与C调完全一样的。

　　换个说法，真正的半音比例应该是2√(1/12)。如果12音阶中第一个音的频率是F，那么第二个音的频率就是2√(1/12)F，第三个音就是2√(2/12)F，第四个音是2√(3/12)F，……，第十二个是2√(11/12)F，第十三个就是2(12/12)F，就是2F，正好是F的八度。这是“转调”问题的完全解决，“黄钟”完全还原。这就是改变西洋音乐史的“十二平均律”，伟大的朱载堉用九九八十一位特大算盘，计算出12√2（2的12次方根）准确到25位数字。

　　我最关心的是，“十二平均律”的纯五度和纯四度的比例还是原来的3/2和4/3吗？在自然七声和纯律中，它们可是雷打不动的，谁也不敢改动。十二平均律中的七级频率分别是：F、1.122F、1.260F、1.335F、1.498F、1.682F、1.888F。还好，在“十二平均律”中，纯五度的比例是1.498，和纯五度的比例1.5非常接近；纯四度的比例是1.335，和纯四度的比例1.333也非常接近，人耳是听辨不出来的。

　　知道日历吗？人们不是按照自然的时间流逝来编排的，中间要作一些调整，于是，大月、小月、闰月都来了。这叫做“科学而不自然”，“十二平均律”就是如此。原来，有时“自然”并不“科学”！

　　前面说了那么多数字演算，动听的音符后面，隐藏了数学和物理学诸多原理，一般人无需明白其原理，只要会用按照其原理制造出来的乐器即可。好比开车，不需要了解汽车是如何设计和制造的，会开车上路就OK了。老乐异想天开，很想手动制造一架钢琴。

　　划时代的“十二平均律”问世后，自然五声、七声、十二律、纯律……统统歇菜，现在我们唱的do、re、mi……是按照“十二平均律”修改的，跟自然七声有差异，只不过人耳听不出来。提醒注意了，我们之前在介绍音阶时，所选取的频率F并不固定，相对应的音阶是相对音高。为了统一行业标准，相关组织规定了音乐的标准音高，就是钢琴键盘上小字一组的A音，A＝440HZ，有了这个标准音高，钢琴上其它键的频率都可以按照“十二平均律”半音频率比12√2（2的12次方根）≈1.05946计算出来（略）。

　　假如按照十二平均律来制造一件乐器，并按照频率由低到高的顺序排列，那么这件乐器上的音应该就是A、#A、B、C、#C、D、#D、E、F、#F、G、#G。如果这件乐器的音域够宽，那么就还有其它的八度音，只要按照这个次序排列。钢琴就是这样一件乐器，它总共有88个键，如果从C到B为一组来分，可分为7个完全组和两个不完全组，音域无与伦比。标准音高A音所在的组叫小字一组，C就是中央C。

　　用右手按下大字组的C2键（其它组也行，但是低音组效果更好），不要发出响声，左手断奏（短促有力）大字一组的F1键（就是比C2键低五度的F1键），“哇！太有趣了！”小女惊叫起来，“除了fa，还有do”。——右手明明没有弹奏C2，为什么就莫名其妙的发出声音呢？

　　如法炮制，按顺序弹G1、A1键，结果是G1→D2、A1→E2。也就是说，F→C、G→D、A→E，七声音阶有了六个音符，加上B，就是七个音符了：FCGDAEB，简谱是4152637，分析它们之间有趣的规律：

　　2、F→C→G→D→A→E→B，其实也是谱表升号的顺序，如A大调有三个升号，顺序是F→C→G，升B大调有五个升号，顺序是F→C→G→D→A……把顺序调个，BEADGCF（7362514），就是降号调顺序。

　　前面我们通过“三分损益法”寻找属音，是用空弦、频率是F来示范的，我还用吉它第一根空弦来演示。钢琴这个庞然大物，原理也一样？呵呵，钢琴其实也是弦乐器，按下键盘，带动棒槌敲击钢绳（F3开始，有三根钢绳），加上巨大的共鸣箱，比吉它或者古琴、古筝钢丝，发出的音更响、更宽，只不过吉它等是弹拨乐器，钢琴是敲击乐器，就像敲钟一样。

　　当我们弹响一根空弦时，不仅整根弦在响，弦长的1/2、1/3、1/4、1/5……也在响，也有它们自己的频率，称为泛音。以C2音为例，泛音和这个音（基音）构成以下“泛音列”：C2　C3　G3　C4　E4　G4……

　　1、轻轻按下C2键，不要让小槌击弦发音，目的是抬起C2音的止音器。依次断奏“泛音列”C3、 G3、C4、E4，G4， C2键会被激发出清晰的C3、G3、 C4、E4、G4等泛音，这表明C2音包含有C3、G3、C4、G4等泛音成分。

　　2、踩下延音踏板，用右手手指拨C2的琴弦，左食指轻触琴弦的二分之一、三分之一、四分之一等处的泛音点，琴弦会发出相应的泛音。